Contoh Soal Induksi Matematika

Soal

4n – 1 habis dibagi 3 untuk setiap bilangan bulat positif n >= 1.

Jawab:

Langkah 1 (Basic Step)

S(1) = benar

S(n) = S(1)

n = 1


jika U = 4n – 1, maka nilai U berubah menjadi

U = 41 – 1
U = 3

Dari soal “habis dibagi 3” maka dari langkah 1 “benar” karena

U/3 = 3/3 = 1


Langkah 2 (Induktif Step)

S(k) = benar

S(n) = S(k)

n = k

Jadi, U = 4n – 1

U = 4k – 1 …………………………………………………………….1

Lalu

S (k +1) = benar

S(n) = S (k + 1)

n = k + 1

maka;
U = 4n – 1

U = 4k+1 – 1

U = 41 x 4k – 1

U = 4 x 4k – 1 …………………………………………………………..2


UJI KEBENARAN

S(k) = 4k – 1 ………………1

S(k + 1) = 4 x 4k – 1 ……….2

Dari kedua persamaan maka didapat nilai:

4 x 4k - 4k = 3 x 4k ……………3


gabungkan persamaan 3 + 1

3 x 4k + 4k – 1 ………………4

maka,

UJI KEBENARAN I dengan cara menggunakan persamaan 3 yang nilainya habis dibagi 3, artinya nilai harus bernilai 1.

3 x 4k / 3 = 1 x 4k

jadi, uji kebenaran I benar karena hasilnya bernilai 1

UJI KEBENARAN II dengan cara menjumlahkan persamaan 3 + 1 yang hasilnya bernilai sama dengan persamaan 2

persamaan 3 + 1 :

3 x 4k + 4k – 1

4 x 4k – 1

jadi, uji kebenaran II benar karena hasilnya sama dengan persamaan II


Langkah 3 (kesimpulan)

Dari semua percobaan yang dilakukan, langkah 1 sampai langkah ke -2 bernilai benar. Maka kesimpulan akhir adalah BENAR.